В 1958 году окончил экономический факультет Харьковского государственного университета по специальности «Статистика», откуда вышло также немало известных демографов — коллег, друзей и критиков А.Г. Вишневского — В.С. Стешенко, В.П. Пискунов, Л.В. Чуйко и другие.
Затем работал в Харьковском филиале института «Гипроград». В 1962—1966 годах учился в аспирантуре Научно-исследовательского и проектного института градостроительства Госстроя УССР (Киев). В 1967 году защитил кандидатскую диссертацию по теме «Городские агломерации и экономическое регулирование их роста (на примере Харьковской агломерации)» в Институте экономики АН СССР в Москве.
С 1967 года работал в Отделе демографии Института экономики АН УССР в Киеве, основанном академиком М.В. Птухой. В 1971 году переехал в Москву и начал работать в отделе демографии НИИ ЦСУ СССР. Руководил Центром демографии и экологии человека при Институте народнохозяйственного прогнозирования РАН.
27 апреля 2010 года в Высшей школе экономики состоялась научная сессия, посвященная 75-летию Анатолия Вишневского.
В сентябре 2017 года награжден нагрудным знаком "За вклад в развитие государственной статистики".
Автор более 300 публикаций. Главный редактор информационного бюллетеня «Население и общество», главный редактор "Демоскоп Weekly".